第一讲接触问题的几何描述

1.概述与导言

接触力学是什么？

接触力学研究两个或多个物体在界面接触时的变形、应力与力传递规律，核心问题包括接触区的形成与演化、法向接触压力、切向摩擦牵引、粘着—滑移转变以及界面几何约束对体内应力场的影响。经典接触力学通常追溯到 Hertz 于 1882 年建立的弹性接触理论；此后，该领域逐步从光滑弹性接触扩展到摩擦、粘附、粗糙表面、滚动接触、数值接触算法以及微纳和生物界面问题，现已成为固体力学与摩擦学之间的核心基础领域之一。

与普通弹性力学相比，接触力学的特殊性不主要在于材料本构，而在于边界条件的性质发生了根本变化。普通弹性问题通常在预先给定的边界上施加位移条件或力条件；但在接触问题中，哪些点接触、哪些点分离、接触区的边界在哪里、切向是粘着还是滑移，往往都不能事先指定，而必须由解本身决定。因此，接触问题本质上是带有单边约束、互补条件与自由边界特征的界面问题。

还应注意，接触力学与冲击/碰撞力学并不相同。后者主要研究短时碰撞中的动量交换、惯性效应与动态响应；前者则首先研究接触界面的局部几何与力学状态。二者可以耦合，但研究焦点不同。

因此，接触力学的第一步不是写平衡方程，而是先建立一套清楚的几何语言。本讲讨论四个问题：

什么叫接触对、法向、切向、间隙函数；
小变形与大变形下，接触几何如何表达；
什么叫接触区、分离区、粘着区、滑移区；
为什么接触不能被当作普通边界条件。

2.两个连续体与候选接触边界

设有两个连续体，记为体 $B^{(1)}$ 和 $B^{(2)}$。在参考构形中，它们分别占据区域

$$ \Omega_0^{(1)},\ \Omega_0^{(2)} \subset \mathbb R^3, $$

边界分别为

$$ \partial \Omega_0^{(1)},\quad \partial \Omega_0^{(2)}. $$

我们并不认为整个边界都可能发生接触，而只选取其中一部分作为候选接触边界：

$$ \Gamma_{C0}^{(1)} \subset \partial\Omega_0^{(1)},\qquad \Gamma_{C0}^{(2)} \subset \partial\Omega_0^{(2)}. $$

“候选”二字非常重要。它意味着：这些地方有可能发生接触，但并不是说它们一定接触，更不是说整块边界同时接触。

体的运动由映射

$$ \boldsymbol x = \boldsymbol\chi^{(\alpha)}(\boldsymbol X,t),\qquad \alpha=1,2 $$

给出，其中 $\boldsymbol X \in \Omega_0^{(\alpha)}$ 是参考坐标，$\boldsymbol x \in \Omega_t^{(\alpha)}$ 是当前坐标。位移为

$$ \boldsymbol u^{(\alpha)}(\boldsymbol X,t) = \boldsymbol\chi^{(\alpha)}(\boldsymbol X,t)-\boldsymbol X. $$

于是，当前构形中的候选接触边界为

$$ \Gamma_C^{(\alpha)}(t)=\boldsymbol\chi^{(\alpha)}(\Gamma_{C0}^{(\alpha)},t). $$

3. 接触对：谁与谁发生几何关系

3.1 接触对的本质

接触不是“某一点自己接触自己”，而总是某个体上的一个点与另一体上的某个点或某个局部面元之间建立几何关系。因此，接触分析首先要定义接触对。

在几何上，最常见的做法是采用点-面接触描述。即从一侧边界上取一点 $\boldsymbol x^{(1)}\in \Gamma_C^{(1)}(t)$，再在另一侧边界 $\Gamma_C^{(2)}(t)$ 上寻找与之配对的点 $\boldsymbol y$。这个 $\boldsymbol y$ 通常取为最近点投影，或满足法向投影条件的点。

于是，一个接触对可以形式化写作

$$ (\boldsymbol x^{(1)},\boldsymbol y), \qquad \boldsymbol x^{(1)}\in \Gamma_C^{(1)}(t),\ \boldsymbol y\in \Gamma_C^{(2)}(t). $$

这里要强调： “接触对”不是材料配对，而是几何配对。随着变形演化，配对点一般会变化。

3.2 参数化描述

为了把法向、切向和投影写清楚，设候选接触面可由局部曲面参数 $\xi^\alpha\ (\alpha=1,2)$ 描述。

参考构形中，第二个体的候选接触面可表示为$\boldsymbol R^{(2)}(\xi^1,\xi^2)$ 当前构形中，对应曲面为

$$ \boldsymbol r^{(2)}(\xi^1,\xi^2,t) = \boldsymbol\chi^{(2)}(\boldsymbol R^{(2)}(\xi^1,\xi^2),t). $$

定义当前曲面的两个切向基矢

$$ \boldsymbol a_\alpha = \frac{\partial \boldsymbol r^{(2)}}{\partial \xi^\alpha}, \qquad \alpha=1,2. $$

则单位法向量为

$$ \boldsymbol n = \frac{\boldsymbol a_1\times \boldsymbol a_2} {\|\boldsymbol a_1\times \boldsymbol a_2\|}. $$

这一定义说明： 法向量是由曲面的局部几何决定的。 一旦表面转动、弯曲或扭曲，法向量也会改变。因此在大变形接触中，法向本身就是未知量的一部分。

4. 法向、切向与投影算子

4.1 法向量

给定当前构形中的光滑曲面 $\Gamma_C^{(2)}(t)$，其单位外法向记为 $\boldsymbol n$。在接触理论中，法向用于区分“靠近/远离”和“穿透/不穿透”。如果记两个配对点之间的相对位置向量为

$$ \boldsymbol d = \boldsymbol x^{(1)}-\boldsymbol y, $$

则它在法向上的分量为

$$ d_n = \boldsymbol d\cdot \boldsymbol n. $$

这就是法向间隙定义的基础。

4.2 切向平面与切向投影

法向一旦确定，切向平面就是与法向正交的二维子空间。相应的切向投影算子定义为

$$ \boldsymbol P_\tau = \boldsymbol I - \boldsymbol n\otimes\boldsymbol n. $$

因此，任意向量 $\boldsymbol a$ 的切向部分为

$$ \boldsymbol a_\tau = \boldsymbol P_\tau \boldsymbol a, $$

法向部分为

$$ \boldsymbol a_n = (\boldsymbol a\cdot\boldsymbol n)\boldsymbol n. $$

于是有正交分解

$$ \boldsymbol a = \boldsymbol a_n+\boldsymbol a_\tau. $$

从物理上看，法向分量控制“压紧/张开”，切向分量控制“粘着/滑动”。

5. 间隙函数：非穿透条件的几何表达

5.1 法向间隙函数

设 $\boldsymbol x^{(1)}\in \Gamma_C^{(1)}(t)$，其在 $\Gamma_C^{(2)}(t)$ 上的配对点为 $\boldsymbol y$。定义法向间隙函数为

$$ g_n = (\boldsymbol x^{(1)}-\boldsymbol y)\cdot \boldsymbol n(\boldsymbol y). $$

其物理意义是：沿第二个体表面法向方向测量两表面间的有符号距离。我们约定：

$g_n>0$：两体分离；
$g_n=0$：两体接触；
$g_n<0$：几何穿透。但真实连续体不允许互相穿透，因此实际可接受状态必须满足 $$ g_n \ge 0. $$ 这就是非穿透约束的几何形式。

5.2 配对点如何确定

上式看似简单，但一个关键难点是： $\boldsymbol y$ 并不是预先给定的，而通常由投影关系确定。若采用最近点投影，则 $\boldsymbol y$ 需满足局部正交条件

$$ (\boldsymbol x^{(1)}-\boldsymbol y)\cdot \boldsymbol a_\alpha(\boldsymbol y)=0, \qquad \alpha=1,2. $$

这意味着：从 $\boldsymbol y$ 指向 $\boldsymbol x^{(1)}$ 的连线垂直于表面的两个切向方向，因此沿法向离开表面。这一步在大变形接触中极其重要，因为它本身就是一个非线性方程组。换言之，间隙函数不仅依赖位移，还依赖投影点的位置，而投影点又依赖位移。

5.3 切向相对位移与相对速度

摩擦接触中，仅知道法向间隙还不够，还需要描述切向相对运动。若取配对点的相对位移增量为 $\Delta \boldsymbol d$，则切向相对滑移增量可写为

$$ \Delta \boldsymbol g_\tau = \boldsymbol P_\tau\, \Delta\boldsymbol d. $$

在动力学或增量理论中，更常用切向相对速度：

$$ \boldsymbol v_\tau = \boldsymbol P_\tau\left( \boldsymbol v^{(1)}-\boldsymbol v^{(2)} \right), $$

其中两速度要在同一接触对上比较。当 $\boldsymbol v_\tau=\boldsymbol 0$ 时，切向上没有相对滑移；当 $\boldsymbol v_\tau\neq \boldsymbol 0$ 时，发生切向滑动。

6. 小变形接触几何

6.1 小变形假设的含义

所谓“小变形接触几何”，其核心不是“材料线弹性”这件事，而是：

位移相对于结构尺度足够小；
接触面的法向、切向几乎不发生转动；
接触配对关系可近似在初始构形上建立；
投影方向可近似固定在参考构形。

因此，小变形接触的几何近似本质上是： 把当前接触面用初始接触面代替，把当前法向用初始法向代替。

6.2 线性化间隙公式

设参考构形中给定一对对应点 $\boldsymbol X^{(1)}\in \Gamma_{C0}^{(1)}$、$\boldsymbol Y^{(2)}\in \Gamma_{C0}^{(2)}$，并记第二个体参考法向为 $\boldsymbol N$。参考法向初始间隙定义为

$$ g_0 = (\boldsymbol X^{(1)}-\boldsymbol Y^{(2)})\cdot \boldsymbol N. $$

变形后两点变为

$$ \boldsymbol x^{(1)}=\boldsymbol X^{(1)}+\boldsymbol u^{(1)},\qquad \boldsymbol y^{(2)}=\boldsymbol Y^{(2)}+\boldsymbol u^{(2)}. $$

若忽略法向变化和投影点迁移，则法向间隙可近似为

$$ g_n \approx g_0 + \big(\boldsymbol u^{(1)}-\boldsymbol u^{(2)}\big)\cdot \boldsymbol N. $$

这就是小变形接触中最基本的几何线性化公式。它说明：法向间隙由两部分组成：

初始几何间隙 $g_0$；
沿参考法向的相对位移。

若 $g_0=0$，则

$$ g_n \approx (\boldsymbol u^{(1)}-\boldsymbol u^{(2)})\cdot \boldsymbol N. $$

这是很多线性接触有限元实现的几何起点。

6.3 切向相对位移的线性化

在小变形条件下，切向投影算子也可冻结在参考构形：

$$ \boldsymbol P_{\tau 0}=\boldsymbol I-\boldsymbol N\otimes\boldsymbol N. $$

于是切向相对位移近似为

$$ \boldsymbol g_\tau \approx \boldsymbol P_{\tau 0} \big(\boldsymbol u^{(1)}-\boldsymbol u^{(2)}\big). $$

因此，小变形理论中，法向与切向分解都可以在初始几何上完成，数学形式较为简洁。

6.4 小变形近似的适用边界

必须指出：这个近似并不是“永远正确”，它依赖于几何转动足够小。一旦接触面发生明显滚动、法向变化较大、曲面曲率效应明显、或者接触点沿表面显著迁移，则上述线性化会失真。

因此，小变形接触更适合：

接触面近平面；
相对位移小；
转动小；
接触区域变化不剧烈；

而不适合显著滚动接触、曲面大滑移接触、大压陷接触等问题。

7. 大变形接触几何

7.1 为什么必须使用当前构形

在大变形接触中，表面法向、切向、接触点位置、曲面参数、接触区形状都会随变形变化。因此，接触几何必须建立在当前构形上，而不能继续使用冻结的参考几何。

设当前构形中，两曲面参数分别为 $\xi$ 与 $\eta$，则可定义

$$ \boldsymbol r^{(1)}(\xi,t),\qquad \boldsymbol r^{(2)}(\eta,t). $$

若 $\eta=\eta(\xi,t)$ 表示投影点，则法向间隙为

$$ g_n(\xi,t) = \big( \boldsymbol r^{(1)}(\xi,t)-\boldsymbol r^{(2)}(\eta(\xi,t),t) \big)\cdot \boldsymbol n^{(2)}(\eta(\xi,t),t). $$

这个式子相对于小变形公式多出了两个根本困难：

法向 $\boldsymbol n^{(2)}$ 不是常量，而是未知变形几何的一部分；
投影参数 $\eta(\xi,t)$ 也是未知的。

所以，$g_n$ 对位移场的依赖是强非线性的。

7.2 大变形几何非线性的来源

大变形接触中的非线性至少来自三层：

第一层：位置非线性

$$ \boldsymbol r = \boldsymbol\chi(\boldsymbol X,t) $$

本身依赖未知位移。

第二层：法向非线性

法向由切向基矢构造：

$$ \boldsymbol n = \frac{\boldsymbol a_1\times \boldsymbol a_2} {\|\boldsymbol a_1\times \boldsymbol a_2\|}, \qquad \boldsymbol a_\alpha = \frac{\partial \boldsymbol r}{\partial \xi^\alpha}. $$

故表面一旦转动，法向就改变。

第三层：投影非线性

配对点须满足正交关系

$$ (\boldsymbol r^{(1)}-\boldsymbol r^{(2)})\cdot \boldsymbol a_\alpha^{(2)} = 0, \quad \alpha=1,2, $$

因此投影点位置本身也是未知量。

这三层耦合在一起，决定了大变形接触的几何本质是一个移动边界上的非线性约束问题。

7.3 参考构形与当前构形的概念区分

这一点初学者最容易混淆。

参考构形：材料点的标签空间，用于定义变形、应变、材料导数等；
当前构形：真实几何所在空间，用于判定是否接触、是否穿透、法向朝向如何。

应变可以在参考构形里写，但“有没有碰上”这件事，必须在当前空间里判断。因为穿透、间隙、投影、法向这些概念，都是几何概念，而不是纯材料标签概念。

8. 接触区、分离区、粘着区、滑移区

8.1 法向状态：接触区与分离区

在候选接触边界上，定义：

$$ \mathcal A_c(t)=\{\boldsymbol x\in \Gamma_C^{(1)}(t): g_n(\boldsymbol x,t)=0\} $$

称为接触区；

$$ \mathcal A_s(t)=\{\boldsymbol x\in \Gamma_C^{(1)}(t): g_n(\boldsymbol x,t)>0\} $$

称为分离区。

这里 $\mathcal A_s$ 中的 $s$ 可以理解为 separation分离。显然

$$ \Gamma_C^{(1)}(t)=\mathcal A_c(t)\cup \mathcal A_s(t), \qquad \mathcal A_c(t)\cap \mathcal A_s(t)=\varnothing. $$

但从几何上说，仅有 $g_n=0$ 还不够完整，因为接触还涉及法向接触力。

8.2 法向接触压力与互补条件

记法向接触压力为 $p_n$，并约定

$$ p_n \ge 0 $$

表示压缩为正。对应的接触牵引可写成

$$ \boldsymbol t_c = -p_n\boldsymbol n + \boldsymbol t_\tau, $$

其中 $\boldsymbol t_\tau$ 是切向牵引。

非穿透与不可粘连的法向条件通常写为

$$ g_n \ge 0,\qquad p_n \ge 0,\qquad g_n\,p_n=0. $$

这组三条件称为Signorini 条件或法向互补条件。

其物理意义非常明确：

若 $g_n>0$，则 $p_n=0$：分离时无接触压力；
若 $p_n>0$，则 $g_n=0$：有压紧时两面必须贴合；
不允许 $g_n<0$：不允许穿透；
不允许 $g_n=0,\ p_n<0$：不允许“粘住再往外拉”。

这已经与普通边界条件完全不同，因为这里不是“等于某个给定值”，而是一个不等式 + 互补关系。

8.3 切向状态：粘着区与滑移区

若考虑摩擦，接触区内部还需继续细分。

设切向相对速度为 $\boldsymbol v_\tau$，切向牵引为 $\boldsymbol t_\tau$，则在经典库仑摩擦模型下，有摩擦屈服条件

$$ \|\boldsymbol t_\tau\| \le \mu p_n. $$

于是接触区可分为两部分。

(1) 粘着区

若

$$ g_n=0,\qquad \boldsymbol v_\tau=\boldsymbol 0,\qquad \|\boldsymbol t_\tau\|<\mu p_n, $$

则称该处处于粘着区。其物理含义是：两表面虽有接触，但切向还没有达到滑移门槛，所以局部没有相对滑动。

(2) 滑移区

若

$$ g_n=0,\qquad \|\boldsymbol t_\tau\|=\mu p_n,\qquad \boldsymbol v_\tau\neq \boldsymbol 0, $$

则称该处处于滑移区。此时切向牵引达到摩擦极限，并沿阻碍相对运动的方向作用。

更严格地，滑移时切向牵引方向应与滑移速度反向，即

$$ \boldsymbol t_\tau = -\mu p_n \frac{\boldsymbol v_\tau}{\|\boldsymbol v_\tau\|}. $$

于是，接触区还可进一步分解为

$$ \mathcal A_c(t)=\mathcal A_{\text{stick}}(t)\cup \mathcal A_{\text{slip}}(t). $$

8.4 一个重要事实：这些区域事先都不知道

无论是 $\mathcal A_c$ 与 $\mathcal A_s$，还是 $\mathcal A_{\text{stick}}$ 与 $\mathcal A_{\text{slip}}$，都不是先验给定的。它们的位置、形状、大小，必须由平衡方程、材料关系与接触约束共同决定。

因此，接触问题本质上是：

一个未知边界区域的问题；
一个不等式约束的问题；
一个状态切换的问题；
往往还是一个非光滑的问题

9. 典型反例：为什么接触不是普通边界条件

这一节最关键。对这一点没有真正理解，后面所有接触数学都会显得“只是多了几个条件”。事实上不是。

9.1 普通边界条件是什么

在线弹性中，常见边界条件有两类：

位移边界条件（Dirichlet） $$ \boldsymbol u = \bar{\boldsymbol u} \quad \text{on } \Gamma_u; $$
力边界条件（Neumann） $$ \boldsymbol \sigma \boldsymbol n = \bar{\boldsymbol t} \quad \text{on } \Gamma_t. $$ 其共同特点是：边界 $\Gamma_u,\Gamma_t$ 在求解前已经给定，边界上施加的量也是预先指定的。接触不是这样。

9.2 反例一：弹簧-刚性障碍物模型

考虑一个最简单的一维静力模型。一根线弹簧，刚度 $k$，自由端受向下外力 $F$。弹簧下方有一个刚性障碍物，与自由端之间初始间隙为 $g_0>0$。

设自由端向下位移为 $u$，接触反力为 $R\ge 0$。则几何非穿透要求为

$$ u \le g_0. $$

注意这里采用“向下为正”的号记，所以位移不能超过初始间隙。平衡方程为

$$ ku + R = F. $$

再加上互补条件

$$ R\ge 0,\qquad g_0-u \ge 0,\qquad R(g_0-u)=0. $$

现在分情况讨论：

情形 1：$F < kg_0$

此时若无接触，解为

$$ u = \frac{F}{k} < g_0,\qquad R=0. $$

系统未接触障碍物。

情形 2：$F \ge kg_0$

若仍假设无接触，则 $u=F/k \ge g_0$，会穿透障碍物，不可接受。故必须有接触：

$$ u=g_0,\qquad R=F-kg_0 \ge 0. $$

这个例子揭示出一个决定性事实：

当载荷较小时，边界表现为“自由边界”，即 $R=0$；
当载荷较大时，边界表现为“位移约束”，即 $u=g_0$。

但是，哪一种边界状态成立，不是事先指定的，而是求解结果的一部分。

因此，接触不是普通的 Dirichlet 条件，也不是普通的 Neumann 条件，而是两者之间的一种“单边切换约束”。

9.3 反例二：Hertz 接触中接触区并不知道

考虑球压半空间的 Hertz 问题。从直观上看，我们知道“球会与平面接触”，但真正的接触区域半径 $a$ 并不是预先给定的，而必须通过解得到。

换句话说，求解前你并不知道：

哪一片区域满足 $g_n=0$；
哪一片区域满足 $p_n>0$；
接触压力分布 $p(r)$ 如何变化；
接触边界 $r=a$ 在哪里。

若把这个问题当成普通边界值问题，就必须先知道“在哪一片区域施加位移兼容、在哪一片区域施加零压力”。但这恰恰是未知的。因此 Hertz 问题本质上是自由边界问题，而不是普通定边界问题。

9.4 反例三：摩擦接触中粘着/滑移区域也未知

再进一步，若有摩擦，则即便法向接触区已知，切向状态也仍未知。

在一个接触区内部，有的地方可能粘着：

$$ \boldsymbol v_\tau = 0, \qquad \|\boldsymbol t_\tau\| < \mu p_n; $$

有的地方可能滑移：

$$ \boldsymbol v_\tau \neq 0, \qquad \|\boldsymbol t_\tau\| = \mu p_n. $$

因此摩擦接触不是“在整个接触面上统一施加一个切向边界条件”，而是一个切向状态分区也未知的问题。这比无摩擦接触又多了一层非线性与非光滑性。

10. 接触问题的数学本质：不等式、互补、自由边界

通过上面的几何描述，我们现在可以对接触问题作出第一层数学概括。

10.1 它不是等式约束，而是单边约束

普通位移边界条件是

$$ u_n = \bar u_n. $$

接触法向条件则是

$$ g_n \ge 0,\qquad p_n \ge 0,\qquad g_n p_n = 0. $$

这是一个单边约束。它允许分离，但不允许穿透；允许压紧，但不允许“拉住”。

10.2 它不是固定边界，而是自由边界

接触区不是预先指定的，而是由解决定的。因此接触问题具有自由边界特征。

10.3 它常常是非线性的

非线性来源包括：

接触区未知；
接触法向与投影点依赖变形；
摩擦律本身是非线性或非光滑的；
大变形几何本身非线性。

10.4 它在弱形式中自然通向变分不等式

这一点本讲只做预告，不展开证明。若记无接触时的弹性双线性型为 $a(\cdot,\cdot)$，外载线性泛函为 $l(\cdot)$，则接触约束会使可行位移集合变成

$$ K = \{\boldsymbol v\in V:\ g_n(\boldsymbol v)\ge 0\ \text{on}\ \Gamma_C\}. $$

于是求解问题不再是“在整个 $V$ 中找一个满足弱方程的解”，而是“在受约束集合 $K$ 中找一个满足不等式的解”：

$$ \text{求 } \boldsymbol u\in K,\quad \text{使得}\quad a(\boldsymbol u,\boldsymbol v-\boldsymbol u) \ge l(\boldsymbol v-\boldsymbol u), \qquad \forall \boldsymbol v\in K. $$

这就是为什么接触力学天然与变分不等式、互补问题、KKT 条件联系在一起。

11. 本讲小结

本讲最重要的结论只有三条，但它们是后续一切内容的地基。

第一，接触首先是一个几何问题。必须先定义候选接触边界、接触对、法向、切向、投影关系和间隙函数。

第二，小变形与大变形的差别不只是“公式复杂一点”，而在于：小变形中法向与投影关系可以冻结在参考构形；大变形中法向、切向、投影点和接触区都随构形演化，因此接触几何本身是非线性的。

第三，接触不是普通边界条件。它不是简单的位移给定，也不是简单的力给定，而是一个由

$$ g_n\ge 0,\quad p_n\ge 0,\quad g_n p_n=0 $$

刻画的单边约束问题；若再加入摩擦，则还要进一步区分粘着区与滑移区。因此，接触问题本质上是一个自由边界 + 不等式约束 + 可能非光滑的问题。

12. 适合讲义末尾布置的思考题

为了帮助硕士生真正消化这一讲，建议在文末布置以下问题：

思考题 1 为什么“$g_n=0$”本身并不足以完全描述接触状态？请说明还需要哪个力学量，以及它与 $g_n$ 的关系。

思考题 2 在小变形接触中，为什么可以把当前法向近似成参考法向？这一近似失效的典型场景有哪些？

思考题 3 对弹簧-障碍物模型，分别画出 $Fkg_0$ 时的受力和位移状态，并写出互补条件。

思考题 4 试解释：为什么 Hertz 接触问题中，接触半径 $a$ 是解的一部分，而不是先验边界数据？