在本研究中，基于Gupta提出的滚动轴承完整动力学模型，建立了带有滚道缺陷的轴承完整动力学模型。在该动力学模型中，针对轴承的所有零部件（外圈/内圈、保持架、滚动体）建立了运动微分方程，其中滚动体与滚道/保持架之间的接触力根据相对位置计算，牵引力则根据接触区域的相对速度计算。与需要人为规划滚动体在缺陷区域运动路径的缺陷轴承集总参数模型不同，该动力学模型基于滚动体与缺陷区域之间的三维几何关系和力学机制，能够直接求解滚动体在缺陷区域的复杂运动路径。对于轴承中由滚动体引导保持架的情况，该动力学模型考虑了球形保持架兜孔与滚动体之间的相互作用，并分析了滚道缺陷对轴承保持架稳定性的影响。通过信号处理方法，对该动力学模型模拟的缺陷轴承振动响应进行了时域、频域和时频域分析，并与实验中测得的缺陷轴承振动响应进行了对比。本研究提出的方法能够进一步提高缺陷轴承动力学模型仿真结果的准确性，从而为开发相应的故障诊断算法（利用模拟的缺陷轴承振动响应替代实际振动响应）以及为深度学习算法提供训练样本提供支持。
具有局部缺陷的轴承动力学模型
与滚动轴承的集总参数模型相比，动力学模型更为复杂。需要定义多个坐标系，并进行相应的坐标变换。主要的坐标系包括固定在空间中的惯性坐标系和固定在轴承各部件上的体固定坐标系。在惯性坐标系中，使用三个坐标来确定轴承部件质心的位置，并使用三个角度（卡尔丹角）来确定角向姿态。在体固定坐标系中，根据质心的位置确定轴承部件的几何中心，且可相对于该几何中心描述部件的几何形状。从惯性坐标系到体固定坐标系的坐标变换可通过变换矩阵实现。在滚动体与套圈/保持架之间还需要一个方位坐标系和一个接触坐标系，它们通过相应的坐标变换矩阵进行变换。
滚动体与滚道的相互作用
接触力
滚动体（RE）与套圈的相对位置及其对应坐标系如图 1 所示。
假设各部件的几何中心与其质心重合，其中，$O_g-x_g y_g z_g$ 为空间固定的惯性坐标系，$O_o-x_o y_o z_o/O_i-x_i y_i z_i$ 为固定在外圈/内圈几何中心处的体固坐标系（套圈坐标系），其坐标轴方向与套圈的惯性主轴方向一致。$O_b-x_b y_b z_b$ 为固定在滚动体几何中心处的体固坐标系（滚动体坐标系）。$O_a-x_a y_a z_a$ 为套圈坐标系中的滚动体方位坐标系，该方位坐标系通过将套圈坐标系绕 $y_o$ 轴/$y_i$ 轴（轴向）按滚动体几何中心在套圈坐标系中的方位角旋转而得。图 1 给出了方位坐标系 $x_a-y_a$ 平面上滚动体与套圈的截面，其中方位坐标系原点与该截面上滚道沟曲率中心重合。$O_c-x_c y_c z_c$ 为滚动体与滚道之间的接触坐标系，该接触坐标系通过将方位坐标系绕 $z_a$ 轴按照滚动体与滚道之间的接触角旋转而得。
滚动体与滚道之间的接触力可由接触坐标系中滚动体几何中心 $O_b$ 与滚道沟曲率中心 $O_a$ 的相对位置确定，在计算中需要进行矢量的坐标变换。坐标系变换是指将某一坐标系中的矢量转换到另一坐标系中，如文献[4] 所述。这里，上标 $o/i$ 表示外圈/内圈坐标系，上标 $b$ 表示滚动体坐标系，上标 $a$ 表示方位坐标系，上标 $c$ 表示接触坐标系；未加上标的矢量默认表示在惯性坐标系中；角速度矢量给定于体固坐标系中，并以下标表示。以滚动体与外滚道的接触为例，惯性坐标系中位置矢量 $r_{ob}$（滚动体几何中心 $O_b$ 相对于套圈几何中心 $O_o$）转换到方位坐标系中为
$$ r_{ob}^{a}=T_{oa}T_{go}(r_b-r_o) \tag{1} $$其中，$r_o/r_b$ 分别为套圈/滚动体几何中心 $O_o/O_b$ 在惯性坐标系中的位置矢量；$T_{go}$ 为从惯性坐标系到套圈坐标系的坐标变换矩阵；$T_{oa}$ 为从套圈坐标系到方位坐标系的坐标变换矩阵。
将方位坐标系中位置矢量 $r_{ab}^{a}$（滚动体几何中心 $O_b$ 相对于滚道沟曲率中心 $O_a$）变换到接触坐标系中：
$$ r_{ab}^{c}=T_{ac}(r_{ob}^{a}-r_{oa}^{a}) \tag{2} $$其中，$r_{oa}^{a}$ 为滚道沟曲率中心 $O_a$ 在方位坐标系中的位置矢量；$T_{ac}$ 为从方位坐标系到接触坐标系的坐标变换矩阵。
接触坐标系中的位置矢量 $r_{ab}^{c}$ 仅沿 $x_c$ 轴有分量，结合滚道沟半径与滚动体半径，可得滚动体与滚道之间的接触变形量为
$$ \delta_o=r_{abx}-(f_o-0.5)d_b \tag{3} $$其中，$r_{abx}$ 为接触坐标系中 $r_{ab}^{c}$ 沿 $x_c$ 轴的分量；$f_o$ 为滚道的沟曲率系数；$d_b$ 为滚动体直径。
根据 Hertz 弹性接触理论，滚动体与滚道在接触坐标系中的接触力（沿接触坐标系 $x_c$ 轴方向）可计算为
$$ F_{ox}= \begin{cases} k_o(\delta_o)^n-c_o\dot{\delta}_o, & \delta_o>0 \\ 0, & \delta_o\le 0 \end{cases} \tag{4} $$其中，第一项为接触力，第二项为为模拟润滑而引入的阻尼力；$k_o$ 为单个滚动体与滚道之间的载荷—变形系数，其计算方法见文献[44]；$n$ 为载荷—变形指数，对于点接触，$n=3/2$（球轴承）；$c_o$ 为接触阻尼系数；$\dot{\delta}_o$ 为滚动体与滚道沿接触力方向的相对速度。
牵引力
首先应当建立的物理概念。
法向接触力计算完成之后，我们计算滚动方向上的切向牵引力。这个力来自接触区内的局部滑移（local slip），本质上是润滑接触中的微滑—剪切效应。因为真实轴承里滚动体不是理想“纯滚”：滚动体在公转、滚动体又在自传、套圈也在运动、接触区内不同点的表面速度并不完全一致、润滑膜存在剪切所以在接触椭圆内，会出现局部切向相对速度，也就是局部滑移速度。
只要有局部滑移，就会有切向剪切应力；把这些剪切应力在整个接触区积分起来，就得到总的牵引力 $F_{oz}$。
$$\text{牵引力} \approx \int_{\text{接触区}} (\text{局部切向剪应力})\, dA$$$$\text{局部切向剪应力} = (\text{牵引系数}) \times (\text{局部法向压力})$$接触椭圆上不同位置的微元点，其局部滑移速度不一样，因此局部牵引系数也不一样。
另外，还要补充一个关键概念：pure rolling point（纯滚点）
所谓纯滚点，就是该点的切向相对速度为零：$u_{obz}=0$. 在这个点的两侧，滑移方向会变号：一侧是“球面跑得更快”、另一侧是“滚道表面跑得更快”，因此切向剪应力方向也会变。这也是作者强调，为什么要按纯滚点位置分段积分。
所以，这部分的计算链条就是：
$$\boxed{ \text{局部滑移速度} \rightarrow \text{牵引系数} \rightarrow \text{局部切向应力} \rightarrow \text{积分得到总牵引力} }$$
滚动体与滚道之间的牵引力可由接触区内的局部滑移速度确定，该滑移速度同样需要在接触坐标系中计算。依据 Hertz 弹性接触理论的假设，当滚动体与滚道构成点接触时，接触区的投影为椭圆，且接触应力在接触椭圆上呈半椭球分布。由于接触椭圆上各点的局部滑移和牵引系数差异很大，故接触区内牵引力的计算较为复杂。然而，由于接触椭圆非常狭长（长轴远大于短轴），沿 $z_c$ 轴方向的滑移速度变化可忽略。因此，接触椭圆可划分为如图 2(a) 所示的狭窄条带，并且每一条带上的滑移速度可由接触椭圆长轴上对应点的滑移速度确定[4]。
在接触坐标系中，接触区内任意点 $p$ 处的局部滑移速度矢量可写为
$$ u_{ob}^{c}=T_{ac}T_{oa} \left[ \left(T_{go}v_o+\left(\omega_o\times r_{op}^{o}\right)\right) -T_{go}\left(v_b+T_{gb}^{T}\left(\omega_b\times r_{bp}^{b}\right)\right) \right] \tag{5} $$其中，$v_o/v_b$ 为套圈/滚动体在惯性坐标系中的平动速度矢量；$\omega_o/\omega_b$ 为套圈/滚动体的角速度矢量；$r_{op}^{o}/r_{bp}^{b}$ 分别为接触点 $p$ 相对于套圈/滚动体几何中心 $O_o/O_b$ 在套圈/滚动体坐标系中的位置矢量；$T_{gb}$ 为从惯性坐标系到滚动体坐标系的坐标变换矩阵。
这表明，$$\boxed{ \text{局部滑移速度} = \text{滚道表面在接触点的速度}
\text{滚动体表面在接触点的速度} }$$
滚道接触点速度$T_{go}v_o+\left(\omega_o\times r_{op}^{o}\right)$它表示套圈表面接触点 $p$ 的速度。$T_{go}v_o$把套圈中心平动速度转换到套圈坐标系；$\omega_o\times r_{op}^{o}$套圈自转在点 $p$ 诱导出的速度.两者相加，就是套圈表面在接触点的总速度。
再看第二项，$\omega_b\times r_{bp}^{b}$表示滚动体自转在接触点诱导的表面速度，由于它最初写在滚动体坐标系中，所以先乘$T_{gb}^{T}$变回惯性系，再乘$T_{go}$转到套圈坐标系。
因为前面的速度差还在套圈相关坐标表示中，而作者后面要在接触坐标系里取其滚动方向分量，所以必须继续变换：$T_{oa}$套圈坐标系 → 方位坐标系；$T_{ac}$方位坐标系 → 接触坐标系，最后得到的是：$u_{ob}^{c}$，也就是接触坐标系中的局部滑移速度矢量
在接触坐标系中，接触点 $p$ 相对于滚动体几何中心 $O_b$ 的位置矢量可表示为
$$ r_{bp}^{c}= \left[ \left(R_{oc}^{2}-y^{2}\right)^{1/2} - \left(R_{oc}^{2}-a_o^{2}\right)^{1/2} + \left((d_b/2)^2-a_o^{2}\right)^{1/2}, \ y,\ z \right]^T \tag{6} $$其中，$R_{oc}$ 为由滚动体与滚道之间接触变形所形成的受压表面曲率半径（图 2(a) 中绿色虚线），其曲率中心为图 2(a) 中的点 $C_o$，定义为
$$ R_{oc}=\frac{2f_od_b}{2f_o+1} \tag{7} $$这里只考虑接触坐标系中沿滚动方向（$z_c$ 轴方向）的牵引力。
这两式的目的是，给出接触区内任一点$p(y,z)$ 在滚动体上的位置矢量，从而能算该点的表面速度。接触区不是一个点，而是一片椭圆，在椭圆上的每个点，滚动体表面法向位置不同，所以$r_{bp}$ 要随着 $(y,z)$ 改变
由接触区内局部滑移速度矢量 $u_{ob}^{c}$ 沿滚动方向的速度分量确定的牵引系数（表面切向应力与法向表面应力之比）表示为
$$ k_z=(A+Bu_{obz})\exp(-Cu_{obz})+D \tag{8} $$$k_z=\frac{\tau_z}{p}$，局部法向接触压力、局部滚动方向切向剪应力 其中，$u_{obz}$ 为 $u_{ob}^{c}$ 在接触区内沿 $z_c$ 轴方向的速度分量；$A,B,C,D$ 为特定润滑剂对应的系数。本文采用文献[42] 中所使用的系数，即 $A,B,C,D$ 分别取 $-7.5\times10^{-3}$、$1.99\times10^{-2}$、$1.60$ 和 $7.5\times10^{-3}$。
对整个接触椭圆上各点 $p$ 的接触应力与对应牵引系数 $k_z$ 的乘积进行积分，可得到牵引力（沿接触坐标系 $z_c$ 轴方向）：
$$ F_{oz}= \left(\frac{3F_{ox}}{2\pi a_o b_o}\right) \iint k_z \left[ 1-\left(\frac{y}{a_o}\right)^2-\left(\frac{z}{b_o}\right)^2 \right]^{1/2} \,dy\,dz \tag{9} $$这个式子表明，
$$\boxed{ F_{oz}=\iint_{\text{接触椭圆}} \tau_z(y,z)\,dA = \iint_{\text{接触椭圆}} k_z(y,z)\,p(y,z)\,dA }$$局部法向压力$p(y,z)$采用Hertz 半椭球分布：
$$p(y,z)=p_0\sqrt{1-\left(\frac{y}{a_o}\right)^2-\left(\frac{z}{b_o}\right)^2}$$总法向力满足：
$$F_{ox}=\iint p(y,z)\,dA$$因此峰值压力常数写成
$$p_0=\frac{3F_{ox}}{2\pi a_o b_o}$$
若忽略沿 $z_c$ 轴方向的滑移速度变化，则牵引系数沿 $z_c$ 轴方向不发生变化（由式(6) 中 $z=0$ 确定），于是牵引力积分可简化为
$$ F_{oz}= \left(\frac{3F_{ox}}{4a_o}\right) \int_{-a_o}^{a_o} k_z \left[ 1-\left(\frac{y}{a_o}\right)^2 \right] dy \tag{10} $$从物理意义上讨论：
$$\boxed{ F_{oz} = \int_{-a_o}^{a_o} \bigl[\text{该条带的平均牵引系数}\bigr] \times \bigl[\text{该条带承受的法向载荷}\bigr] \,dy }$$
典型的滑移速度分布如图 2(b) 所示。接触区内通常存在一个或两个纯滚动点，且纯滚动点两侧的滑移速度符号发生变化，这种符号变化会导致牵引系数的不连续。在积分过程中，需要依据纯滚动点的位置对积分区间 $(-a_o 这里分段后就是，$[-a_o,a_o]=[-a_o,y_1]\cup[y_1,y_2]\cup[y_2,a_o]$ 在得到法向接触力和切向牵引力之后，滚动体与滚道之间相互作用的总力矢量 即可直接在接触坐标系中定义。由于忽略了垂直于滚动方向的牵引力分量，因此总力矢量 $F_o^{c}$ 在接触坐标系 $y_c$ 轴方向上的分量为零。 根据曲率半径 $R_{oc}$ 以及接触椭圆长半轴 $a_o$，接触区中心 $O_c$ 相对于滚动体/套圈几何中心 $O_b/O_o$ 的位置矢量可分别直接在接触坐标系中写为 滚动体与滚道之间的相互作用力大小相等、方向相反。对位置矢量 $r_{bc}^{c}$ 与总力矢量 $-F_o^{c}$ 作叉乘，可得到套圈对滚动体中心的总力矩矢量；对位置矢量 $r_{oc}^{c}$ 与总力矢量 $F_o^{c}$ 作叉乘，可得到滚动体对套圈中心的总力矩矢量，即 在保持架由滚动体引导的情况下，保持架的驱动力主要来源于兜孔与滚动体之间的碰撞；由于这种碰撞频繁且持续时间很短，因此摩擦可以忽略。本文研究滚动体与球形兜孔之间的接触力，其相对位置如图 3 所示。 接触角：在径向平面内，滚动体与滚道接触点的法线（即载荷传递方向）与轴承径向平面（垂直于轴承轴线的平面）之间的夹角。 由于保持架兜孔不是完整球面，因此滚动体与兜孔之间的接触并不是连续的。图 4 给出了方位坐标系中 $x_{ah}-z_{ah}$ 平面上的滚动体与兜孔截面（E-E 平面）。其中，根据滚动体与兜孔的接触角（即 $r_{kb}$ 与方位坐标系 $x_{ah}$ 轴之间的夹角），二者接触可分为两种形式： 图中的四条绿色虚线（$O_kA$、$O_kB$、$O_kC$、$O_kD$）表示在 $x_{ah}-z_{ah}$ 平面上连接兜孔中心与兜孔内、外边缘的直线。如图 4(a) 所示，当接触角位于 $O_kA$ 与 $O_kD$ 之间（或 $O_kB$ 与 $O_kC$ 之间）时，滚动体在接触角方向上不与兜孔接触，而实际接触位置位于兜孔内外边缘上的各点 $(A,B,C,D)$，并且滚动体可能同时与两个点接触（例如 $A$ 和 $D$）。因此，在计算接触力时，需要同时考虑滚动体与兜孔边缘各点 $(A,B,C,D)$ 的接触。 以点 $A$ 处产生的接触为例，假设接触变形仅发生在兜孔上，并将兜孔法向方向上的变形视为接触变形，变形后的接触点记为 $A'$。$r_{kn}/r_{bn}$ 分别表示变形后接触点 $A'(O_n)$ 相对于兜孔/滚动体几何中心 $O_k/O_b$ 的位置向量。$r_{kA}$ 为点 $A$ 相对于兜孔几何中心 $O_k$ 的位置向量。$r_{bn}$ 的模长等于滚动体半径，其方向与向量差 $(r_{kA}-r_{kb})$ 一致。边缘坐标系 $O_n-x_ny_nz_n$ 由接触坐标系 $O_c-x_cy_cz_c$ 绕 $y_{ah}$ 轴按 $r_{kn}$ 与 $r_{kb}$ 的夹角旋转得到。在该坐标系中，接触变形可表示为 如图 4(b) 所示，当接触角位于 $O_kA$ 与 $O_kB$ 之间（或 $O_kC$ 与 $O_kD$ 之间）时，滚动体沿接触角方向与兜孔发生接触。为统一计算，也假设变形仅发生在兜孔上。$r_{bc}$ 为接触区域中心 $O_c$ 相对于滚动体几何中心 $O_b$ 的位置向量，其模长等于滚动体半径，方向与 $r_{kb}$ 一致。于是，在接触坐标系 $O_c-x_cy_cz_c$ 中，接触变形可写为 在式(13) 和式(14) 中，$r_{knx}/r_{kbx}$ 分别为 $r_{kn}^{n}/r_{kb}^{c}$ 在边缘/接触坐标系中沿 $x_n/x_c$ 轴的分量；$R_b$ 为滚动体半径；$R_h$ 为球形保持架兜孔半径。 对于上述两种接触形式，滚动体与兜孔之间的接触力（沿相应坐标系的 $x_n/x_c$ 轴方向）可分别计算为 其中，$k_h$ 为滚动体与兜孔之间的接触刚度。此外，滚动体与兜孔之间的牵引力确定方法与前述滚动体与滚道之间牵引力的确定方法类似。 当滚动体与兜孔接触时，各接触点处的接触力是在不同坐标系中计算得到的。因此，需要将不同坐标系中的接触力向量变换到同一个公共坐标系中，以便对各接触力向量求和。这里选取方位坐标系 $O_{ah}-x_{ah}y_{ah}z_{ah}$ 作为公共坐标系，则两类接触形式在该坐标系中的接触力向量可表示为 其中，$n$ 表示兜孔上各个变形接触点 $(A',B',C',D')$；$\varphi_c$ 为滚动体在方位坐标系中的接触角；$\varphi_A\sim\varphi_D$ 分别为方位坐标系中兜孔中心与兜孔边缘点 $(A,B,C,D)$ 连线的位置角；$T_{cn}$ 为从接触坐标系到各边缘坐标系的变换矩阵，$T_{ahc}$ 为从方位坐标系到接触坐标系的变换矩阵。 由于在接触形式 a 中，滚动体与兜孔各点 $(A,B,C,D)$ 的接触力是同时计算的，因此这些接触力对保持架中心和滚动体中心的力矩也需要求和，即 其中，$r_{hn}^{ah}/r_{bn}^{ah}$ 分别为在接触形式 a 下，变形接触点 $(A',B',C',D')$ 相对于保持架/滚动体几何中心 $O_h/O_b$ 的位置向量；$r_{hc}^{ah}/r_{bc}^{ah}$ 分别为在接触形式 b 下，接触区域中心 $O_c$ 相对于保持架/滚动体几何中心 $O_h/O_b$ 的位置向量。 在已有研究中，通常只考虑滚动体（RE）与缺陷区域在径向平面内的相互作用，即二维几何关系。本文基于滚动体与缺陷区域之间的三维几何关系，提出了一种新的接触力计算方法。图 5 给出了缺陷区域的几何形状。由于方位坐标系的原点与滚道曲率中心重合，因此缺陷区域的几何既可以在方位坐标系中描述，也可以在套圈坐标系中描述。缺陷区域的几何形状并不规则，并且由于滚道本身具有曲率，缺陷区域的边缘也是弯曲的。 以滚动体与外滚道上缺陷区域之间的相互作用为例。图 6(a) 给出了在滚动体中心所在方位坐标系 $O_a-x_ay_az_a$ 的 $x_a-y_a$ 平面上，滚动体截面与缺陷区域截面的相对位置。图中的两条绿色虚线（$O_aE$、$O_aF$）为该平面内连接滚道曲率中心与缺陷区域边缘 3 和边缘 4 的连线。 以滚动体与缺陷区域边缘 3 在点 $E$ 处发生接触为例，假定接触变形仅发生在滚道上，并将滚道法向方向上的变形作为接触变形。变形后的接触点记为 $E'$。$r_{ac3}$ 和 $r_{bc3}$ 分别表示变形后接触点 $E'(O_{c3})$ 相对于滚道曲率中心 $O_a$ 和滚动体几何中心 $O_b$ 的位置向量。$r_{ae}$ 为边缘点 $E$ 相对于滚道曲率中心 $O_a$ 的位置向量。$r_{bc3}$ 的模长等于滚动体半径，且其方向与向量差 $(r_{ac3}-r_{ab})$ 一致。滚动体与缺陷区域边缘之间的接触坐标系 $O_{c3}-x_{c3}y_{c3}z_{c3}$ 由接触坐标系 $O_c-x_cy_cz_c$（图 6 中未画出，见图 1）绕 $z_a$ 轴按向量 $r_{ac3}$ 与 $r_{ab}$ 的夹角旋转得到。在该接触坐标系中，接触变形定义为 滚动体与缺陷区域底部之间的接触变形也可以在 $x_a-y_a$ 平面上计算，其定义为 其中，$h_{\min}$ 为该截面上缺陷区域的最小深度，如图 6(c) 所示。 图 6(b) 给出了在缺陷区域边缘 1 所在的方位坐标系 $O_{a1}-x_{a1}y_{a1}z_{a1}$ 的 $x_{a1}-y_{a1}$ 平面上，滚动体截面与缺陷区域截面的相对位置。同样假设接触变形仅发生在滚道上。$r_{b1c1}$ 为接触区域中心 $O_{c1}$ 相对于滚动体截面中心 $O_{b1}$ 的位置向量。其模长等于该圆形截面的半径，而接触变形由 $x_{a1}-y_{a1}$ 平面上滚动体截面中心 $O_{b1}$ 相对于滚道曲率中心 $O_{a1}$ 的相对位置决定。一旦滚动体中心在套圈坐标系中的位置确定，该截面中心的位置及其直径在 $x_{a1}-y_{a1}$ 平面上也随之确定，并可由空间几何关系计算得到。该平面内滚动体与缺陷区域边缘 1 的接触坐标系 $O_{c1}-x_{c1}y_{c1}z_{c1}$，由方位坐标系 $O_{a1}-x_{a1}y_{a1}z_{a1}$ 绕 $z_{a1}$ 轴按滚动体圆形截面与滚道之间的接触角旋转得到。于是，该接触坐标系中的接触变形可表示为 在式(18) 和式(20) 中，$r_{ac3x}$ 为 $r_{ac3}^{\,c3}$ 在接触坐标系 $O_{c3}-x_{c3}y_{c3}z_{c3}$ 中沿 $x_{c3}$ 轴的分量，$r_{a1b1x}$ 为 $r_{a1b1}^{\,c1}$ 在接触坐标系 $O_{c1}-x_{c1}y_{c1}z_{c1}$ 中沿 $x_{c1}$ 轴的分量，$d_{b1}$ 为滚动体在 $x_{a1}-y_{a1}$ 平面上的圆形截面直径。 在各自对应的接触坐标系中，滚动体与缺陷区域各边缘/底部之间计算得到的接触力（沿各坐标系的 $x_{cn}$ 轴方向）可写为 牵引力的计算与第 3.1.2 节中滚动体与滚道之间牵引力的计算类似。然而，由于接触区域投影形状难以确定，从而使牵引力的积分计算较为困难，因此这里做了一定简化：以变形接触点处牵引系数与接触力的乘积作为牵引力，从而替代积分计算。 由于滚动体与缺陷区域各边缘/底部之间的总力（接触力与牵引力）是在不同接触坐标系中计算得到的，因此需要将各接触坐标系中的总力向量变换到统一的公共坐标系中，以便进行求和。这里取滚动体中心所在的方位坐标系 $O_a-x_ay_az_a$ 作为公共坐标系，则各总力向量在该坐标系中的和为 其中，$T_{aa1}/T_{aa2}/T_{ac3}/T_{ac4}/T_{ac5}$ 分别为从方位坐标系 $O_a-x_ay_az_a$ 到方位坐标系 $O_{a1}-x_{a1}y_{a1}z_{a1}$、$O_{a2}-x_{a2}y_{a2}z_{a2}$ 以及接触坐标系 $O_{c3}-x_{c3}y_{c3}z_{c3}$、$O_{c4}-x_{c4}y_{c4}z_{c4}$、$O_{c5}-x_{c5}y_{c5}z_{c5}$ 的变换矩阵；$T_{a1c1}/T_{a2c2}$ 分别为从方位坐标系 $O_{a1}-x_{a1}y_{a1}z_{a1}$、$O_{a2}-x_{a2}y_{a2}z_{a2}$ 到接触坐标系 $O_{c1}-x_{c1}y_{c1}z_{c1}$、$O_{c2}-x_{c2}y_{c2}z_{c2}$ 的变换矩阵。 由于滚动体与缺陷区域各边缘/底部之间的总力是同时计算的，因此这些总力对套圈中心与滚动体中心产生的总力矩也需要求和。在方位坐标系 $O_a-x_ay_az_a$ 中，总力矩之和可写为 其中，$r_{oc1}^{a}\sim r_{oc5}^{a}$ 与 $r_{bc1}^{a}\sim r_{bc5}^{a}$ 分别表示各边缘/底部处变形接触点 $O_{c1}\sim O_{c5}$ 相对于套圈/滚动体几何中心 $O_o/O_b$ 的位置向量。 轴承部件的运动可分解为两部分：一是质心的平动，其在惯性坐标系中由牛顿第二定律描述；二是绕质心的转动，其在体固坐标系中由欧拉方程描述。 轴承部件平动的运动方程为 其中，$m$ 为质量，$\ddot{r}$ 为加速度向量，$F$ 为作用在该轴承部件上的总力向量。 轴承部件转动的运动方程为 其中，$(I_x,I_y,I_z)$ 为主惯性矩，$(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$ 为角速度向量的各分量，$(M_x,M_y,M_z)$ 为作用在该轴承部件上的总力矩向量的各分量。 外圈通常固定在轴承座中，因此外圈与轴承座之间的相互作用可以通过将轴承座视为具有刚度和阻尼的弹簧系统来建立。外圈平动的运动方程在笛卡尔坐标系分量形式下可写为 内圈通常固定在轴上，轴（包括转子）的重力 $G_x$ 作为外载作用于内圈。内圈平动的运动方程在笛卡尔坐标系分量形式下可写为 在式(26) 和式(27) 中，$m_o/m_i$ 分别为外圈/内圈质量；$(F_{ox},F_{oy},F_{oz})/(F_{ix},F_{iy},F_{iz})$ 分别为作用于外圈/内圈上的总力向量的各分量；$(K_x,K_y,K_z)$ 和 $(C_x,C_y,C_z)$ 分别为轴承座支承刚度和结构阻尼系数的各分量。作用力矩
滚动体与保持架兜孔的相互作用
滚动体与缺陷区域的接触模型
缺陷区域的几何描述
滚动体与缺陷区域的相互作用
运动方程