1.模型对象、基本假设与自由度选择

建模概述和指导思想

• 模型对象包括内圈、外圈、保持架、全部滚动体。
• 模型变量包括各构件的质心平动+刚体转动
• 构件整体按刚体处理，但局部接触区保留非线性接触力学。
• 缺陷、保持架兜孔、滚道沟曲率等复杂局部机制，不是通过“预设激励函数”加入，而是通过几何关系 + 接触判定 + 局部受力自动生成。

母问题就是：

已知轴承几何、载荷与初始状态，求解各构件的空间运动，以及由此诱导的滚动体—滚道、滚动体—保持架、滚动体—缺陷区相互作用

对于一套带局部缺陷的深沟球轴承，最自然的对象集是：

• $O$：外圈（outer ring）
• $I$：内圈（inner ring）
• $H$：内圈（inner ring）
• $B_j$：第j个滚动体$j=1,\dots,N$ 此外还有三类“非独立刚体对象”，它们不单独写刚体运动方程，但必须在几何与接触中显式出现：
• 内、外滚道
• 保持架兜孔
• 缺陷区域

这里要区分的建模对象： 刚体对象：具有独立质量、惯量与运动自由度，需要写动力学方程。 几何/接触对象：不单独写运动方程，但它们定义了局部接触法向、接触变形、接触边界和作用点位置。

这表明：后面所有“接触变形”其实都不是某个独立柔性体场变量，而是由两个刚体之间的局部几何嵌入关系定义出来的标量。

所以，整体的建模哲学就是：

当然，如果把内圈、外圈、保持架、滚动体都按弹性连续体处理，当然更“真实”，但代价是会进入全接触有限元甚至显式动力学框架，模型会极其庞大，不适合作为高效的动力学主模型。

而轴承动力学研究常采用的思路是：

• 构件尺度上的运动：刚体
• 接触尺度上的法向压缩：Hertz 非线性
• 接触尺度上的切向传递：牵引力/摩擦力模型
• 支承与机座作用：等效刚度与阻尼

这样，模型既保留了关键物理，又能够进行长时间积分与参数研究。

这一指导思想的直接结果就是：

后面所有接触关系都会呈现出同一结构：

• 先在某个局部坐标系里计算相对位置；
• 从相对位置定义法向接近量/压缩量 $\delta$；
• 由$\delta$通过 Hertz 关系得到法向力；
• 由局部滑移速度得到牵引力
• 再将局部力、力矩变换到全局或公共坐标系中装配。

基本假设

以下给出建模基本假设：

• 假设 A1：各构件几何中心与质心重合

这条假设在 Jiang 的模型中是显式采用的。它的作用是把“几何位置”和“动力学质心位置”统一起来，避免引入额外偏心项。

数学上就是：对任意构件 $k\in\mathcal B$，其几何中心 $O_k$​ 与质心 $C_k$​ 满足

这意味着刚体的平动可以直接由其几何中心位置表示。

• 假设 A2：外圈、内圈、保持架、滚动体均视为刚体

因此每个对象只需要： - 一个质心位置向量 $r_k$ - 一个姿态变量 $\eta_k$ - 一个平动速度 $v_k=\dot r_k$ - 一个角速度 $\omega_k$

• 假设 A3：接触变形只发生在局部法向压缩上

滚动体—滚道、滚动体—兜孔、滚动体—缺陷边缘等作用，都通过局部法向接近量 $\delta$ 表征。

也就是说，我们不追踪真实三维弹性接触区中的全场应力应变分布，而是采用等效压缩量：

• 假设 A4：法向接触满足 Hertz 型非线性关系

对球轴承点接触，典型形式为

必要时可叠加法向阻尼项。Jiang 文中滚动体—滚道、滚动体—兜孔、滚动体—缺陷边缘/底部都采用了这种范式。

• 假设 A5：切向作用不采用纯库仑摩擦，而采用牵引力模型

这是完整轴承动力学模型区别于很多简化模型的重要一点。 切向力不是直接写成 $\mu F_n$，而是通过局部滑移速度和牵引系数来计算。 Jiang 文中对滚动体—滚道相互作用显式采用了局部滑移速度与牵引系数关系.

• 假设 A6：机座/支承作用可等效为刚度—阻尼支承

这属于外部约束模型，不是几何本体的一部分，但后面总运动方程会用到。 即外圈与轴承座之间的作用可以等效成：

这种结构。

• 假设 A7：缺陷区几何在第一版中视为确定性给定几何

也就是说，缺陷不是随机粗糙坑，不考虑材料去除演化，而是一个已知三维边界的局部凹陷区。Jiang 文中也是先给定缺陷角向展宽、最小深度和边缘几何，再求滚动体与缺陷区相互作用。

分清“几何自由度”和“求解自由度”

先说几何自由度。

一个三维刚体的构型由：

• 3 个平动坐标
• 3 个转动坐标

决定，所以是 6 个构型自由度。

因此，若外圈、内圈、保持架和 $N$ 个滚动体都按空间刚体处理，则系统的总构型自由度为

如果是 $N=9$ 的深沟球轴承，则

个构型自由度。

再说求解自由度。对于一阶状态变量数，若把动力学方程写成一阶常微分方程组，则对应状态变量大约包括：

• 位置/姿态变量
• 平动速度/角速度变量 总维数通常约为 $$ 2(18+6N)=36+12N $$ 对 $N=9$ 有 $$ 36+12\times 9=144 $$

维状态。 这还没算上若你引入接触内部附加变量、转速控制器变量、转子耦合变量等扩展量。

但不是所有自由度都必须“独立求”。这是更重要的观点。

在具体轴承工况中，经常会有：

• 外圈某些转动自由度被约束
• 内圈某个转角是给定匀速输入
• 轴向载荷为零，某些变量弱耦合
• 对球体而言，姿态本身不一定直接影响几何接触，但自旋角速度会影响牵引与陀螺项

所以工程上要区分：

但是，在建模过程中，我们应该先保留完整自由度框架，再根据工况逐步消元，而不是一开始就过早简化。

每个构件应该选什么广义坐标？

对任意构件 $k\in\{O,I,H,B_1,\dots,B_N\}$，定义其广义坐标为

其中：

• $r_k=[x_k,y_k,z_k]^T$：质心在惯性系中的位置
• $\eta_k$：表征姿态的 3 个参数，可取 Cardan 角

相应地，其广义速度可以取为

但在动力学上更自然的一组变量其实是

因为：

• 平动方程天然用 $r_k,v_k$
• 转动方程天然用 $\omega_k$
• 姿态参数 $\eta_k$ 的主要作用是生成方向余弦矩阵 $T(\eta_k)$

这也是后面“牛顿方程在惯性系、欧拉方程在体固系”能够自然拼起来的原因。

还需要考虑一个问题：滚动体要不要保留 3 个转动自由度？

原则上要保留。 原因有三层。

第一层：牵引力依赖相对滑移速度，而相对滑移速度不仅由平动决定，还由滚动体角速度决定。Jiang 文中滚动体—滚道局部滑移速度公式中，明确包含滚动体和套圈角速度项。

第二层：滚动体可能发生自旋、进动和非纯滚运动如果你只保留一个“公转速度”，那就又退回简化模型了。

第三层：后续若考虑电学、热学或表面非均匀性，自旋方向往往会影响接触驻留行为。所以从扩展性看，不应过早删掉滚动体转动自由度。 不过这里有一个细节：

• 对完全球形、均匀滚动体，其绝对姿态角本身未必总是直接进入几何接触公式；
• 但其角速度 $\omega_b$ 会进入接触滑移、牵引、陀螺项。

所以在实现上可以有两种层级：

层级 1：完整空间刚体。

层级 2：几何上省去球体绝对姿态，只保留

如果我们现在只构建“母模型，那么广义坐标集合可以写为：

其中

对应状态向量

这样做的最大好处是： 后面任何局部相互作用模块，都只需要从 $X$ 中读出对应两个构件的位置、姿态、速度、角速度，即可进行局部几何和受力计算。

总结

到这里，我们实际上完成了三件非常重要的事：

第一，我们把模型对象从“故障激励下的等效振动系统”提升为“多刚体 + 局部接触”的完整轴承系统。

第二，我们明确了核心建模思想：

第三，我们给出了后续推导所需的统一自由度框架与状态变量框架。

这意味着，从下一部分开始，我们终于可以回答：

这些位置、姿态、速度到底分别在哪个坐标系里表示？ 它们之间如何变换？ 局部接触法向如何嵌入全局运动？

2.坐标系体系与坐标变换

分层坐标系的建立，不同的坐标系有助于写出对象的状态，而我们只需要坐标变换就能追踪每个对象在不同坐标系下的状态。

基本上，我们采用的坐标系由以下几个组成：全局惯性系、构件体固系、方位系、接触系。然后把“全局刚体运动”一步步投影到“局部接触几何”里。 Jiang 在第 3 节开头明确指出：完整动力学模型比集中参数模型复杂得多，首先就需要定义多个坐标系及其相应的坐标变换；主坐标系包括空间固定的惯性系、各构件体固系，以及滚动体与滚道/保持架之间所需的方位系和接触系。

所以

记号约定

让我们先统一记号： 若 $P,Q$ 是两点，则

表示“点 $Q$ 相对点 $P$ 的位置向量”。

例如：

• $r_{ob}$：滚动体中心 $O_b$ 相对外圈中心 $O_o$
• $r_{oa}$：滚道曲率中心 $O_a$ 相对外圈中心 $O_o$

上标表示“该向量在什么坐标系中表达”。 例如：

表示向量 $r_{ob}$ 在方位坐标系 $a$ 中的坐标。 沿用论文中的记号风格，定义

表示：$T_{AB}$ 把一个向量从坐标系 $A$ 的分量表示，转换为坐标系 $B$ 的分量表示。 因此：

• $T_{go}$：惯性系 $g$$\to$ 外圈体固系 $o$
• $T_{oa}$：外圈体固系 $o$$\to$ 方位系 $a$
• $T_{ac}$：方位系 $a$$\to$ 接触系 $c$

由于这些矩阵都是正交旋转矩阵，所以有

第一层：惯性坐标系 $O_g-x_gy_gz_g$

这是全局参考系，固定在空间中。Jiang 文中记为 $O_g-x_gy_gz_g$ 在这个坐标系里，我们描述：

• 各构件质心位置 $r_k$
• 各构件质心速度 $v_k=\dot r_k$
• 外载方向
• 支承位移
• 整体平动动力学 后面牛顿方程写成 $$ m_k\ddot r_k = F_k $$ 时，最自然就是在惯性系中写。所以惯性系的作用是： $$ \boxed{\text{负责“整体在哪里、整体怎么平移”}} $$

第二层：体固坐标系

对每个刚体构件 $k$，都在其几何中心处附着一个体固坐标系：

例如：

• 外圈体固系 $O_o-x_oy_oz_o$
• 内圈体固系 $O_i-x_iy_iz_i$
• 保持架体固系 $O_h-x_hy_hz_h$
• 第 $j$ 个滚动体体固系 $O_{b_j}-x_{b_j}y_{b_j}z_{b_j}$

Jiang 对外圈/内圈/滚动体都作了这种定义，并指出套圈体固系的轴方向与其惯性主轴方向一致。

体固系的作用 它主要负责两件事：

1. 描述构件几何。滚道沟曲率、兜孔位置、构件局部几何特征，天然是在体固系里定义的。
2. 描述刚体转动动力学。欧拉方程最自然写在体固主轴系中： $$ I\dot\omega+\omega\times(I\omega)=M $$ 这也是 Jiang 文中转动方程的写法本质。 所以体固系的作用是： $$ \boxed{\text{负责“构件本体长什么样、绕自己怎么转”}} $$

姿态与惯性系—体固系变换

设构件 $k$ 的姿态由三参数 $\eta_k$ 给定，则对应旋转矩阵记为

它把惯性系中的向量分量转换到体固系：

对应的逆变换为

关于 Cardan 角

论文只说明采用三个 Cardan 角表示姿态，但没有在这一处展开具体顺序。因此在我们的讲义里，最稳妥的做法是：

• 先把 $T_{gk}(\eta_k)$ 当作一个一般正交矩阵
• 等到写数值实现时，再固定具体角序

否则现在就锁死旋转顺序，反而容易在后续推导中陷入符号混乱。

第三层：方位坐标系

这是完整轴承动力学里很关键、但初学时最不容易一下子看懂的坐标系。

为什么需要方位系？

滚动体与滚道的接触，是一个“随周向位置不断移动的局部问题”。 如果你一直待在整个外圈体固系里看它，那么第 $j$ 个滚动体的位置和接触法向都在不断变化，局部公式会非常难写。

所以我们引入一个“跟随该滚动体周向位置”的中间坐标系：方位系。

首先看外滚道情形。

对某一滚动体，定义其在套圈中的方位角为 $\varphi_j$。 则方位系 $O_a-x_ay_az_a$ 的轴方向可由套圈体固系绕轴向旋转 $\varphi_j$ 得到。

Jiang 对滚动体—滚道相互作用的表述正是如此：方位系由套圈体固系绕 $y_o$ 轴或 $y_i$ 轴按滚动体几何中心在套圈坐标系中的方位角旋转得到。

因此，若取外圈情形，形式上可写为

这里不必急着把 $R_y$ 展开成具体矩阵，重要的是理解：方位系的轴向随滚动体周向位置旋转。

方位系的原点？ 论文里有一个容易被忽略但非常重要的细节：

方位系原点与该截面上的滚道沟曲率中心重合。

这句话的意义是：方位系不只是“转了个方向”，它还在几何上把局部截面锚定到了滚道曲率中心附近。

于是，在方位系的 $x_a-y_a$ 截面中：

• 滚动体局部截面
• 滚道沟曲率中心
• 接触角几何

都会变得非常清楚。所以方位系的作用是：

第四层：接触坐标系

有了方位系之后，局部截面已经确定了；但还差最后一步：把坐标轴对准接触法向和滚动方向。 这就是接触坐标系 $O_c-x_cy_cz_c$ 的作用。

Jiang 的定义是：接触系由方位系绕 $z_a$ 轴按照滚动体与滚道之间的接触角旋转得到。

因此可记为

其中 $\alpha_j$ 为局部接触角。

接触系中三个方向的物理意义

这是后面所有力学公式的关键：

• $x_c$：局部法向，接触压缩量 $\delta$ 就沿这个方向定义
• $z_c$：滚动方向，牵引力主要沿这个方向定义
• $y_c$：垂直于滚动方向的横向

于是：

• 法向接触力沿 $x_c$
• 牵引力沿 $z_c$
• 局部总力向量通常写成$$ F^c=[F_x,0,F_z]^T $$ 这恰好就是 Jiang 文中后续受力公式的结构。

由全局到局部：滚动体—滚道相对位置的标准变换链

现在来写真正重要的那条链。设：

• $r_o$：外圈中心在惯性系中的位置
• $r_b$：滚动体中心在惯性系中的位置

则滚动体中心相对于外圈中心的向量，在惯性系中为

把它变到方位系中：

这正是 Jiang 的式(1)。

这条式子该怎么理解？ 两步变换：

1. 先把惯性系中的向量变到外圈体固系： $$ (r_b-r_o)^o = T_{go}(r_b-r_o) $$
2. 再从外圈体固系变到当前滚动体对应的方位系： $$ r_{ob}^a = T_{oa}(r_b-r_o)^o $$ 合起来就是上式。

接着，设 $r_{oa}^{a}$ 是“滚道曲率中心相对外圈中心”的向量，在方位系中的表示。 则滚动体中心相对滚道曲率中心的向量，在方位系中为

再变到接触系中：

这就是 Jiang 的式(2)。 到这里应该看出整个思路：

每一步都在做一件更“局部化”的事情。

一旦把相对位置写到接触系里，几何就被对齐了。

在理想接触系中，滚动体中心相对于滚道曲率中心的向量只需关注其法向分量 $r_{abx}$。 于是接触压缩量自然写成

这正是 Jiang 的式(3)。其中，$r_{abx}$ 为接触坐标系中 $r_{ab}^{c}$ 沿 $x_c$ 轴的分量；$f_o$ 为滚道的沟曲率系数；$d_b$ 为滚动体直径。

这个公式之所以这么短，完全不是因为问题本身简单，而是因为前面四层坐标系把几何整理干净了。 如果不经过这种分层组织，$\delta_o$ 将会是一坨非常难看的全局三维几何表达式。

这一套坐标结构为什么还能自然扩展到保持架和缺陷区？

这也是 Jiang 这篇文献真正聪明的地方。

它并不是为滚动体—滚道单独发明了一套坐标；它是建立了一套可复制的局部化语法：

• 对滚动体—滚道：体固系 $\to$ 方位系 $\to$ 接触系
• 对滚动体—兜孔：保持架体固系 $\to$ 兜孔方位系 $\to$ 接触/边缘系
• 对滚动体—缺陷区：滚道方位系 $\to$ 边缘接触系 / 底部接触系

Jiang 对保持架兜孔与缺陷区，都是沿这一思路继续搭建附加局部坐标系。 所以，我们真正掌握的是：

这一讲我们做成了四件事。

第一，明确了四层坐标结构：

第二，明确了矩阵记号：

第三，解释了 Jiang 式(1)、式(2) 的真正来源： 它们不是经验公式，而是多层局部化坐标变换的直接结果。

第四，我们为下一讲做好了全部铺垫。 因为一旦坐标系建立好，接下来就可以系统推导：

• 接触变形
• 法向接触力
• 局部滑移速度
• 牵引力
• 力矩

也就是进入真正的“健康轴承滚动体—滚道接触母模型”。

3.健康轴承滚动体—滚道接触母模型

本讲任务

前两讲我们已经完成了两件基础工作：

• 明确了模型对象、基本假设与自由度；
• 建立了惯性系—体固系—方位系—接触系的分层坐标结构。

现在终于可以进入第一个真正的“局部力学模块”：

这一讲的目标只有一个：

从全局刚体位置与姿态出发，严格定义“滚动体相对滚道到底靠近了多少”。

这个“靠近了多少”，就是接触变形 $\delta$。而一旦 $\delta$ 被定义清楚，后面的 Hertz 法向力、牵引力和力矩都只是顺着往下走。

为什么必须先做“几何”，不能直接写 Hertz 力？

很多初学者会直接写

但问题在于：$\delta$ 从哪里来？

在静态 Hertz 接触问题里，$\delta$ 常常是一个外加压入量；而在完整轴承动力学模型里，$\delta$ 不是外加量，而是由以下对象共同决定的：

• 外圈/内圈的空间位置与姿态；
• 滚动体的空间位置与姿态；
• 滚道沟曲率中心的位置；
• 局部接触角与局部法向方向。

因此，$\delta$ 是一个由多刚体运动学诱导出来的局部几何量。 这也是 Jiang 这类完整动力学模型与普通集中参数振动模型的根本差别之一

单个滚动体—外滚道母问题

先只看一个滚动体 $B$ 与外滚道的接触。内滚道的推导完全平行，只需把外圈记号 $o$ 换成内圈记号 $i$。

我们记：

• $O_o$：外圈几何中心
• $O_b$：滚动体几何中心
• $O_a$：当前方位截面上的滚道沟曲率中心
• $O_c$：当前接触区中心

对应坐标系：

• 惯性系：$O_g-x_gy_gz_g$
• 外圈体固系：$O_o-x_oy_oz_o$
• 滚动体体固系：$O_b-x_by_bz_b$
• 方位系：$O_a-x_ay_az_a$
• 接触系：$O_c-x_cy_cz_c$

Jiang 对这组坐标的定义非常明确：方位系由套圈体固系绕轴向按滚动体周向位置旋转得到，方位系原点与该截面上的滚道曲率中心重合；接触系再由方位系绕局部接触角旋转得到。

第一步：定义全局相对位置

在惯性系中，外圈中心和滚动体中心的位置分别是

因此，滚动体中心相对于外圈中心的全局相对位置向量为

这一步看起来平凡，但它是整个局部接触几何的起点。 注意这里有两层含义：

第一，$r_{ob}$ 反映的是整体平动差； 第二，它还没有“看到”局部滚道几何，因为此时我们仍在惯性系里。

所以接下来必须做局部化变换。

第二步：把全局相对位置拉到当前滚动体对应的方位截面

设 $T_{go}$ 为惯性系到外圈体固系的变换矩阵，$T_{oa}$ 为外圈体固系到当前滚动体方位系的变换矩阵。 则滚动体中心相对外圈中心的位置向量，在方位系中的表示为

这正对应 Jiang 的式(1)。

这条式子的几何意义？

它做了两件事：

• 先把“世界坐标下”的相对位置拉回到外圈自身的坐标中；
• 再从外圈体固系切换到“当前滚动体所在的局部周向截面”。

于是，原来一个不断绕圈运动的三维问题，被变成了“某个局部截面上的几何问题”。

第三步：引入滚道沟曲率中心

仅有 $r_{ob}^{a}$ 还不够。 因为接触并不是“滚动体中心对外圈中心”的问题，而是“滚动体中心对滚道沟曲率中心”的问题。

在方位系中，记滚道沟曲率中心相对外圈中心的位置为

则滚动体中心相对滚道沟曲率中心的向量为

这一步非常关键。它意味着： 我们真正要比较的不是两个刚体质心，而是

因为局部接触法向、本地间隙、压缩量，都是围绕这一对几何对象定义的。

第四步：把局部几何进一步对准接触法向

方位系已经把问题拉到了局部截面，但它的坐标轴还不一定与局部法向完全对齐。因此还需要引入接触系。

设 $T_{ac}$ 为方位系到接触系的变换矩阵，则

这对应 Jiang 的式(2)。

在理想接触系中：

• $x_c$ 沿局部法向；
• $z_c$ 沿滚动方向；
• $y_c$ 为横向。

于是 $r_{ab}^{c}$ 的法向分量直接给出“中心距沿法向的局部投影”。

这一步做完以后，局部几何终于可以写成一个一维法向量问题。

第五步：接触变形的定义

现在来到本讲核心。

设 $r_{abx}$ 表示 $r_{ab}^{c}$ 在接触系 $x_c$ 轴方向上的分量。滚道沟曲率系数为 $f_o$，滚动体直径为 $d_b$。

则滚动体与外滚道之间的法向接触变形定义为

这正是 Jiang 的式(3)。

为什么是 $(f_o-0.5)d_b$?

这项必须讲清楚，否则公式会显得很突兀。

1. 滚动体半径 滚动体是球，半径为 $$ R_b=\frac{d_b}{2}=0.5d_b $$
2. 滚道沟半径 沟曲率系数 $f_o$ 的定义是：滚道沟半径与滚动体直径的比值，因此 $$ R_g=f_od_b $$
3. 无变形几何基准距离 在局部截面里，若滚动体与滚道刚好处于“无压缩临界接触”状态，那么滚动体中心与滚道曲率中心的距离应为 $$ R_g-R_b=f_od_b-\frac{d_b}{2}=(f_o-0.5)d_b $$ 因此：

• 若当前法向距离 $r_{abx}$ 恰好等于这个值，则 $\delta_o=0$，刚好临界接触；
• 若 $r_{abx}$ 更大，则表示发生法向压缩，$\delta_o>0$；
• 若 $r_{abx}$ 更小，则尚未接触，$\delta_o\le 0$。

所以这条式子不是经验式，而是一个非常干净的局部几何差值：

这一几何定义的物理含义：

$\delta_o$ 的物理意义是：

若把滚道和滚动体在当前局部截面上看作两个具有给定曲率的几何对象，那么 $\delta_o$ 衡量的是它们沿局部法向的“重叠量”或“压入量”。

这时必须强调一点： 这里的“重叠”不是说几何体真的穿透，而是刚体运动学导致的虚拟过闭合量，它将由局部弹性变形来吸收。

这正是刚体多体接触模型的标准做法：

• 运动学允许出现虚拟法向过闭合；
• 力学用 Hertz 接触定律把这种过闭合转化为接触力。

内滚道情形怎么写

完全平行。

若考虑滚动体与内滚道之间的接触，只需把外圈记号 $o$ 替换为内圈记号 $i$，则：

本质没有任何不同。 因此，第三讲建立的实际上是一个统一模板：

结论

这一讲可以压缩成一句话：

健康轴承中滚动体—滚道接触几何的核心，不是“算球压槽”，而是“把全局多刚体相对运动投影到局部接触法向上”。

最终我们得到的母公式是：

在外滚道情形下就是

这就是后面一切力学公式的入口。

4.接触力、牵引力与作用力矩

第三讲只回答了一个问题：

压进去多少？

第四讲要回答另外三个问题：

1. 压进去多少，产生多大法向力？
2. 在接触区存在相对滑移时，产生多大切向牵引力？
3. 这些局部力对滚动体中心和套圈中心分别产生多大力矩？

Jiang 在 3.1 节中的组织就是这个顺序：先接触力，再牵引力，再作用力矩。

法向接触力：从 Hertz 理论到动力学模型

为什么采用 Hertz 关系?

在本模型里，各构件整体按刚体处理，弹性只体现在局部接触区。因此接触区法向力最自然地采用 Hertz 弹性接触关系。

对于球轴承点接触，载荷—变形关系具有经典幂律：

于是，滚动体与外滚道的法向接触力在接触系中写成

其中球轴承点接触有

这与 Jiang 的式(4) 完全一致。

为什么这里还要加阻尼项

纯 Hertz 理论只给出弹性保守力：

但真实轴承接触中存在润滑膜、局部耗散、微尺度非弹性损失等，因此动力学模型往往在法向接触中再加入一个耗散项：

它的作用不是改写 Hertz 接触本质，而是：

• 抑制数值积分中的非物理高频振荡；
• 粗略表征润滑与接触耗散；
• 使接触过程从纯保守振子更接近真实动力学行为。

Jiang 文中也明确指出第二项是为模拟润滑而引入的阻尼力。需要注意的是：

• 这个阻尼项是工程模型，不是严格的微观润滑理论推导；
• 它依赖于相对法向速度 $\dot\delta_o$。

脱离接触条件为什么写成 $\delta\le 0$

这是接触互补思想的最简单版本。因为第三讲中 $\delta$ 已经被定义为“局部法向过闭合量”，所以：

• $\delta>0$：说明发生压缩接触；
• $\delta\le 0$：说明没有实际压缩，不应产生法向接触力。

因此模型自然采用分段式：

这也是刚体接触动力学里最常见的一种无穿透—接触反力实现方式。

法向接触刚度 $k_o$ 的本质

$k_o$ 常被写成“载荷—变形系数”，但你要理解它不是一个普通线性弹簧刚度。在线性弹簧里：

这里 $k$ 的量纲是 N/m。

而 Hertz 接触里：

所以 $k_o$ 的量纲不是线性刚度量纲，而是与材料、曲率和等效弹性模量相关的非线性接触系数。

因此，$k_o$ 不应被理解为“普通弹簧刚度”，而应理解为：

牵引力：为什么不能简单写成库仑摩擦

这是完整轴承动力学模型的关键提升之一。

如果直接写

那意味着：

• 不区分接触区内不同点的局部滑移；
• 不区分纯滚区、微滑区、滑移方向变化；
• 不区分润滑状态和速度依赖性。

但在真实滚动接触中，接触区内通常是：

• 一部分区域近似纯滚；
• 一部分区域存在微滑；
• 切向应力与法向应力之比依赖局部滑移速度。

因此 Jiang 在 3.1.2 中采用的是局部滑移—牵引系数—积分的路线，而不是简单库仑摩擦。

局部滑移速度的来源： 对接触区中任一点 $p$，局部滑移速度本质上是：

但这个“点速度”必须包括两部分：

• 质心平动速度；
• 刚体转动引起的局部线速度 $\omega\times r$。

因此，在接触系中，Jiang 给出的局部滑移速度向量为

对应其式(5)。 你可以把它理解成一个统一模板：

然后再把这个速度投影到接触系里。

为什么滚动体角速度必须保留？

从上式可以看得很清楚： 如果删掉滚动体角速度 $\omega_b$，那局部滑移速度就会被严重低估，甚至退化成“纯由平动差导致的滑移”。

这显然不对。因为在滚动接触中：

• 滚动体自旋；
• 滚动体公转与自转不完全匹配；
• 局部纯滚点的位置本身由相对运动状态决定。

所以第四讲在物理上再次证明了： 滚动体转动自由度不是可有可无，而是牵引力模型的必要输入。

接触区几何：为什么接触椭圆会出现

在 Hertz 点接触假设下，球—沟道局部接触区的投影是椭圆，且法向接触应力呈半椭球分布。Jiang 也是按这一标准 Hertz 近似来处理的。 因此引入接触椭圆长、短半轴：

接触区内任一点 $p$ 可用局部坐标 $(y,z)$ 表示。 同时，Jiang 还给出了接触点 $p$ 相对滚动体中心的局部位置向量：

并定义了受压表面曲率半径

对应其式(6)、式(7)。

** 这两个式子的意义？**

它们不是“额外复杂化”，而是在做一件事：

给接触区内每个点一个可计算的几何位置，以便在那里计算局部滑移速度。

也就是说，牵引力之所以复杂，是因为它不是接触中心一个点的力，而是整个接触区分布切向应力的合力。

牵引系数的经验关系

Jiang 使用的牵引系数形式为

其中 $u_{obz}$ 是局部滑移速度在滚动方向 $z_c$ 上的分量。这对应其式(8)。

物理上，$k_z$ 是：

它是一个经验型润滑牵引模型。 所以在这篇模型里，切向力学并不是“基本定律推导”，而是：

• 运动学给出局部滑移；
• 局部滑移通过经验关系给出牵引系数；
• 牵引系数再与 Hertz 法向接触应力耦合，形成切向合力。

牵引力积分：为什么要对整个接触椭圆积分

法向接触力可以直接用 $\delta$ 写成一个合力，因为 Hertz 已经把接触区积分封装掉了。 但切向牵引力不能直接写成一个简单标量函数，因为接触区内各点的：

• 局部滑移速度
• 牵引系数
• 切向应力

一般都不一样。

因此总牵引力应写为整个接触椭圆上的积分：

这正是 Jiang 的式(9)。 这里前面的系数来自 Hertz 压力分布归一化。 括号内的平方根项，就是半椭球法向接触应力分布的形状函数。

为什么可以把二维积分简化成一维积分

Jiang 使用了一个重要近似：

接触椭圆很狭长，沿 $z_c$ 方向的滑移速度变化可忽略。

这意味着牵引系数 $k_z$ 在 $z$ 方向近似不变，于是二维积分可降为一维：

这就是 Jiang 的式(10)。

你可以把它理解为一种“细长接触斑 strip approximation”：

• 先把椭圆分割成很多细窄条带；
• 每个条带内牵引系数按长轴对应点近似；
• 再沿长轴做一维积分。

这使模型既保留了滚动接触切向力学的基本结构，又避免了过重的数值负担。

纯滚点与分段积分

Jiang 特别提到：接触区中通常会存在一个或两个纯滚点，且纯滚点两侧的滑移速度会变号，从而引起牵引系数的不连续，需要按纯滚点位置分段积分。 这句话的力学意义很深：

• 局部滑移不是全区同号；
• 一部分区域可能“前滑”，另一部分区域可能“后滑”；
• 因而切向应力并不一定在整个接触区方向一致。

这正是滚动接触比普通滑动摩擦复杂得多的地方。

总力向量的装配

有了法向接触力 $F_{ox}$ 和滚动方向牵引力 $F_{oz}$ 之后，局部总力在接触系中自然写成

Jiang 在 3.1.3 中也是这样定义的：由于忽略了垂直于滚动方向的牵引分量，所以 $y_c$ 方向分量为零。

所以这个局部总力的结构极其清晰：

• 法向分量：接触压缩引起；
• 切向分量：局部滑移与牵引引起；
• 横向分量：在这一层模型中忽略。

接触区中心的位置：为什么还要再算一个几何向量？

力有了，但要写刚体转动方程，还需要力臂。 因此必须知道：接触区中心相对于滚动体中心、相对于套圈中心的位置向量。

Jiang 给出了接触区中心 $O_c$ 相对滚动体中心、相对套圈中心在接触系中的位置：

对应其式(11)。 这两条式子的物理意义

• $r_{bc}^{c}$：从滚动体中心到接触区中心的力臂；
• $r_{oc}^{c}$：从套圈中心到接触区中心的力臂。

于是同一个局部总力，就可以分别对滚动体和套圈产生不同的力矩。

作用力矩：牛顿第三定律如何进入模型

根据作用与反作用原理：

• 套圈对滚动体施加 $-F_o^c$
• 滚动体对套圈施加 $+F_o^c$

因此相对于滚动体中心的力矩为

相对于套圈中心的力矩为

这就是 Jiang 的式(12)。

这一步非常关键，因为它告诉你：

局部接触模块最终输出的不是一个力，而是一整套

$$(\text{总力},\text{对滚动体中心的力矩},\text{对套圈中心的力矩})$$

这组量才是后面总运动方程的输入。

第四讲的统一结构

把本讲压缩起来，实际上只做了四步：

第一步：由接触几何得到法向压缩量

第二步：由 $\delta_o$ 得到法向接触力

第三步：由局部滑移速度得到牵引力

第四步：由力与力臂得到作用力矩

所以整个局部接触模块的语法可以写成：

这就是健康轴承滚动体—滚道接触母模型的完整闭环。

小结

到这里，我们已经真正建立了整套模型的第一个核心模块：

它包含：

• 局部接触几何：式(3.1)–(3.4)
• 法向 Hertz 接触：式(4.1)
• 局部滑移与牵引：式(4.2)–(4.7)
• 总力与力矩：式(4.8)–(4.12)

从结构上看，这个模块已经足够强，可以直接作为后面两类更复杂相互作用的母模板：

• 滚动体—保持架兜孔
• 滚动体—缺陷区域

它们本质上都只是把“局部几何定义”换掉，而“接触变形 $\to$ 接触力 $\to$ 牵引力 $\to$ 力矩”的主链不变。Jiang 后面的 3.2 和 3.3 也正是沿这个逻辑展开的。

5.保持架—滚动体相互作用

为什么完整模型必须显式引入保持架—滚动体相互作用？

在很多简化轴承模型里，保持架只起到“给滚动体分配周向位置”的作用，甚至被完全忽略。但在完整动力学模型中，这种处理是不够的，原因至少有三点。

第一，保持架并不只是几何分隔件

保持架的兜孔会对滚动体的相对位移形成约束，尤其在非载区、缺陷通过阶段或滚动体运动状态波动较大时，这种约束会变成真实的碰撞与接触。

第二，保持架运动本身是被滚动体驱动的

对于滚动体引导型保持架，保持架的主要驱动力来自滚动体与兜孔之间的频繁短时冲击，而不是某种独立外加转矩。Jiang 在 3.2 节开头就明确指出：在保持架由滚动体引导时，保持架的驱动力主要来源于兜孔与滚动体之间的冲击，且由于冲击频繁而短暂，摩擦可近似忽略。

第三，缺陷工况下保持架效应会被放大

一旦滚动体进入缺陷区并失去滚道连续导向，保持架兜孔对滚动体的约束就可能从“弱扰动”变成“主要导向机制”之一。所以如果后续关心的不只是振动，还关心滚动体真实轨迹、保持架稳定性或后续电接触路径，那么这一模块不能省。

几何对象与坐标系：从滚道接触模板到兜孔接触模板

这一讲的第一件事，是把上一讲中“滚动体—滚道”接触模板，平移到“滚动体—保持架兜孔”上。

定义以下对象：

• $O_h$：保持架几何中心
• $O_k$：某一兜孔几何中心
• $O_b$：滚动体几何中心

定义以下坐标系：

• 保持架体固系：$O_h-x_hy_hz_h$
• 兜孔坐标系：$O_k-x_ky_kz_k$
• 滚动体在兜孔中的方位系：$O_{ah}-x_{ah}y_{ah}z_{ah}$
• 局部接触系 / 边缘系：$O_c-x_cy_cz_c$ 或 $O_n-x_ny_nz_n$

Jiang 对这组坐标系的定义是：$O_h-x_hy_hz_h$ 为保持架坐标系，$O_k-x_ky_kz_k$ 为兜孔坐标系，$O_{ah}-x_{ah}y_{ah}z_{ah}$ 为滚动体在兜孔中的方位坐标系，它由兜孔坐标系绕 $x_k$ 轴按照滚动体中心在兜孔坐标系中的方位角旋转得到。

这一套定义与第三讲的逻辑是同构的：

所以第五讲本质上不是另起炉灶，而是在一个新的局部几何对象上重用“局部化坐标 + 接触变形 + Hertz 力 + 力矩装配”的母结构。

球形兜孔为什么会带来两类接触形式

这是这一讲的第一个核心点。

如果兜孔是一个完整球面，那么滚动体与兜孔的接触几何会相对简单； 但实际保持架兜孔不是完整球壳，而是一个开口的球形口袋。因此：

• 某些方位下，滚动体会沿“接触角方向”直接接触兜孔球面；
• 另一些方位下，滚动体沿该方向根本碰不到球面，而只会与兜孔的边缘接触。

Jiang 把这一点表达得很明确：由于保持架兜孔不是完整球面，滚动体与兜孔之间的接触不是连续的；按接触角位置不同，可分为两类： 一类是滚动体沿接触角方向不与兜孔接触，实际接触发生在内外边缘点；另一类是沿接触角方向直接与兜孔接触。

这就意味着，保持架—滚动体模块相较滚道接触模块，多了一个本质复杂性：

兜孔边缘的四个关键点与接触角分区

在兜孔方位截面 $x_{ah}-z_{ah}$ 平面内，Jiang 用四条从兜孔中心引出的边界连线 $O_kA$、$O_kB$、$O_kC$、$O_kD$ 表示兜孔内外边缘在该截面上的位置。

于是滚动体与兜孔的接触角 $\varphi_c$ 会被这些边界角划分为不同区间：

• 当 $\varphi_c$ 落在某些区间内时，滚动体沿接触角方向碰不到球面本体，而会碰到边缘点 $A,B,C,D$ 中的一点或两点；
• 当 $\varphi_c$ 落在另外一些区间时，滚动体沿接触角方向直接接触兜孔球面。

这一步的意义非常大。它说明：

保持架兜孔接触不是单一接触点问题，而是一个接触类型随方位自动切换的问题。

这比滚动体—滚道接触复杂得多，因为后者默认总是局部法向接触，而这里需要先判断“到底是碰球面还是碰边缘”。

第一类接触：滚动体与兜孔边缘接触

先看“沿接触角方向不碰兜孔球面”的情形。

以边缘点 $A$ 为例。设：

• $r_{kA}$：边缘点 $A$ 相对于兜孔中心 $O_k$ 的位置向量；
• $r_{kb}$：滚动体中心 $O_b$ 相对于兜孔中心 $O_k$ 的位置向量；
• $A'$ 或 $O_n$：边缘局部接触发生变形后的接触点；
• $r_{kn}$：变形后接触点相对于兜孔中心的向量；
• $r_{bn}$：变形后接触点相对于滚动体中心的向量。

Jiang 假设这里的接触变形只发生在兜孔一侧，而滚动体仍作为刚性球面几何对象参与局部接触。

为了把局部法向对齐，引入边缘坐标系 $O_n-x_ny_nz_n$。 这个坐标系由接触系绕 $y_{ah}$ 轴按 $r_{kn}$ 与 $r_{kb}$ 的夹角旋转得到。其作用与第三讲中的接触系完全类似：把局部压缩方向对准 $x_n$ 轴。

在该边缘系中，法向接触变形定义为

其中：

• $r_{knx}$ 为 $r_{kn}$ 在边缘系 $x_n$ 方向上的分量；
• $R_h$ 为球形兜孔半径。

这正对应 Jiang 的式(13)。这条式子的物理含义？

它与第三讲的接触变形定义是同一类型：

只是这里的“参考几何”不再是滚道沟曲率圆，而变成了兜孔球面/边缘几何。

第二类接触：滚动体沿接触角方向直接接触兜孔球面

当接触角落在另一些区间时，滚动体沿接触角方向会直接与兜孔球面接触。

定义：

• $r_{kb}$：滚动体中心相对兜孔中心的位置向量；
• $r_{bc}$：接触区中心 $O_c$ 相对滚动体中心 $O_b$ 的位置向量。

其中 $r_{bc}$ 的模长等于滚动体半径 $R_b$，方向与 $r_{kb}$ 一致。Jiang 对此有明确说明。在接触系中，接触变形定义为

其中 $r_{kbx}$ 是 $r_{kb}$ 在接触系 $x_c$ 方向上的分量。 这正对应 Jiang 的式(14)。这条式子该怎么理解？

如果没有压缩，滚动体中心到兜孔中心的法向距离应满足

于是写成“当前法向距离 $+$ 滚动体半径 $-$ 兜孔半径”的形式，本质上仍然是“当前几何状态相对于临界接触状态的偏离”。

所以无论是边缘接触还是球面直接接触，底层逻辑都没变：

保持架—滚动体法向接触力

两类接触都采用 Hertz 型幂律关系。 Jiang 给出的形式为

这对应其式(15)。

这里 $k_h$ 是滚动体—兜孔接触刚度。 值得注意的是：

• 指数仍是 $3/2$，因为局部仍按点接触 Hertz 近似；
• 与第三讲不同，这里作者没有显式再加法向阻尼项；
• 这也符合它的物理语境：保持架—滚动体作用被视为频繁短时冲击， 重点在法向非线性约束，而不是润滑支承。

牵引力的处理

Jiang 说明：保持架—滚动体间牵引力的确定方式与滚动体—滚道之间类似。

这意味着从建模结构上说，它沿用的是第三讲的主链：

但这里实际作用比滚道接触弱一些，原因是：

• 兜孔接触更偏向间歇冲击；
• 作者在建模动机上更强调“冲击驱动保持架”，而非精细润滑牵引。

所以可以把它理解为： 保持架—滚动体模块的核心是法向冲击约束，切向牵引是附属修正项。

为什么必须把各局部接触力都变换到同一个公共坐标系？

边缘接触和球面接触并不是在同一个局部坐标系中算出来的：

• 边缘接触在各自的边缘系 $O_n-x_ny_nz_n$ 中；
• 直接球面接触在接触系 $O_c-x_cy_cz_c$ 中。

如果不统一坐标系，这些力根本没法相加。 因此需要选一个公共坐标系。Jiang 选的是滚动体在兜孔中的方位系 $O_{ah}-x_{ah}y_{ah}z_{ah}$。

于是总接触力写成分段形式：

这对应 Jiang 的式(16)。

这条式子的真正意义：它说明了完整模型的一个重要特征：

特别是在边缘接触情形下，滚动体甚至可能同时与两个边缘点接触，因此总力必须是多点贡献之和。

保持架与滚动体的相互作用力矩

有了统一后的接触力向量，就可以对保持架中心和滚动体中心分别计算力矩。

Jiang 给出的表达式是

对应其式(17)。

这里：

• $M_{bh}^{ah}$：滚动体对保持架中心的力矩；
• $M_{hb}^{ah}$：保持架对滚动体中心的力矩。

这一点很重要。因为保持架模块最后输出的不是“保持架受到多大推力”这么简单，而是一整套：

• 对保持架的总力/总力矩；
• 对滚动体的反作用力/反作用力矩。

这些量都要进入总运动方程。

小结：保持架模块比滚道模块多了什么

可以把第五讲压缩成一句话：

滚动体—兜孔相互作用，仍然遵循“局部几何 → 接触变形 → Hertz 力 → 力矩”的母结构，但与滚道接触相比，多出了接触类型切换与多边缘同时接触这两个复杂性。

因此，这一模块最重要的新增物理不是 Hertz 指数本身，而是：

1. 不完整球面几何导致接触拓扑切换；
2. 滚动体与兜孔边缘可能发生多点同时接触；
3. 保持架运动由这些局部冲击驱动而产生。

这也是为什么保持架稳定性分析只有在完整模型里才有意义。

6.缺陷区三维几何与滚动体—缺陷接触

为什么缺陷模块是这篇模型真正的“关键升级”？

如果说第五讲是在健康轴承标准接触模板上加一个“兜孔接触分支”，那么第六讲则是在模型思想上做了一次真正升级。

传统故障轴承模型常常这样处理缺陷：

• 只在径向平面上画一个二维凹坑；
• 根据几何关系人为规定滚动体在缺陷区中的轨迹；
• 再按预设轨迹去修正接触力。

这种方法的根本问题是：

Jiang 这篇文章的创新点之一，就是不再预规划滚动体在缺陷区内的运动路径，而是基于滚动体与缺陷区的三维几何关系和局部接触力学，让轨迹从动力学方程中自然产生。

所以第六讲的核心不是“多写几个接触公式”，而是：

把缺陷从一个二维激励事件，变成一个三维局部几何区域。

缺陷区不是一个点，而是一个有边界的三维区域：

Jiang 在 3.3.1 中首先做的事，不是写力，而是写几何。 这一步非常正确，因为缺陷接触的难点首先是“边界在哪里”。

对于外滚道上的局部缺陷区，可以把它理解成由五个关键边界部分组成：

• 边缘 1：前缘（leading edge）
• 边缘 2：后缘（trailing edge）
• 边缘 3、4：两侧边缘
• 边缘 5：底部

其中“边缘 5”并非一条线，而是底部区域，在建模中作为一个单独接触对象处理。

这五个对象之所以重要，是因为滚动体进入缺陷区后，可能与它们中的若干个发生接触， 而且不同接触会对应不同的接触坐标系与不同的接触变形定义。

缺陷区几何的两类角向描述

Jiang 用两类角向参数来描述缺陷区边界。

第一类：在方位系中描述边缘 3 和边缘 4

在滚动体当前所在的方位系 $O_a-x_ay_az_a$ 中，边缘 3 和边缘 4 的位置由角向展宽 $\varphi_{da}$ 决定。

这可以理解为： 在当前局部截面里，缺陷左右两侧边缘相对于滚道曲率中心张开的角度范围。

第二类：在套圈体固系中描述边缘 1 和边缘 2

边缘 1 与边缘 2 的位置由套圈体固系中的角向展宽 $\varphi_{do}$ 决定，它对应缺陷在周向上的起止位置。

从滚动体通过缺陷的角度看：

• 边缘 1 是进入缺陷时首先遇到的前缘；
• 边缘 2 是离开缺陷前撞上的后缘。

这两类角度共同给出一个真正的三维缺陷区域，而不是单一二维坑。

无穷多个方位截面”这个思想非常重要

Jiang 特别指出：在边缘 1 与边缘 2 之间，理论上存在无穷多个方位坐标系，而缺陷区在每一个方位系 $x_a-y_a$ 平面上的截面都可定义出来；任意几何的缺陷都可以由这些截面的组合描述。本文为了建模可控性，只取了每个截面形状与位置均相同的简单几何缺陷。

这句话其实非常深刻。它意味着：

这是一个非常好的建模思想。 它既保留了三维几何本质，又避免直接在全三维空间中写一整套复杂隐函数边界。

从后续想扩展到更一般缺陷、磨损坑、腐蚀区甚至粗糙缺陷面来看，这种“截面族参数化”方式是非常有扩展性的。

滚动体—缺陷接触的分类：为什么是“边缘/底部”分开建模？

一旦滚动体进入缺陷区，它面临的不是一个统一的局部法向，而是多个可能接触对象：

• 与前缘/后缘接触；
• 与左右侧边缘接触；
• 与底部接触；
• 或在某些阶段完全悬空、不与缺陷内部任何边界接触。

因此最自然的做法，不是试图发明一个统一的复杂接触公式，而是：